Aula 01 - Operações com Matrizes
O ideal é que se dedique pelo menos 1 hora por aula!
Adição de Matrizes
A soma de duas matrizes de mesma ordem, $A_{m \times n}=[a_{ij}]$ e $B_{m \times n}=[b_{ij}]$, é uma matriz $m \times n$, que denotaremos $A + B$, cujos elementos são somas dos elementos correspondentes de $A$ e $B$, istó é,
$$ A + B = \left[ a_{ij} + b_{ij} \right] _{m \times n} = C = [c_{ij}] _{m \times n} $$
Ex.:
$$ I) \quad \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & a_{13}+b_{13} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & a_{23}+b_{23} \\ \end{bmatrix} $$
$$
II) \quad
\begin{bmatrix}
5 & -2 & 3 \\
2 & 1 & -4 \\
1 & 0 & 2 \\
3 & -1 & 4 \\
\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}
-2 & 1 & 3 \\
4 & 2 & 5 \\
0 & 2 & -2 \\
-3 & 0 & 5 \\
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
3 & -1 & 6 \\
6 & 3 & 1 \\
1 & 2 & 0 \\
0 & -1 & 9 \\
\end{bmatrix}
$$
Obs.:
(i) A diferença, $A-B = [a_{ij} - b_{ij}] _{m \times n}$, é uma matriz $C$ tal que: $c_{ij} = a_{ij} - b_{ij}$;
(ii) A adição/diferença de matrizes tem as mesmas propriedades de números reais.
Propriedades: Dadas as matrizes de mesma ordem $m \times n$, temos:
i) $A+B = B+A$ (comutatividades);
ii) $A+(B+C) = (A+B)+C$ (associatividade);
iii) $A + 0 = A$, onde $0$ denota a matriz nula $m \times n$. $( 0_{m \times n} )$
Produto de uma Matriz por um Escalar
Seja $A=[a_{ij}] _{m \times n}$ e $k$ um número, então definimos uma nova matriz $B=[b_{ij}]$ tal que:
$$ k \times A = [k \times a_{ij}] _{m \times n} = B $$
Ex.:
$$
5 \times
\begin{bmatrix}
4 & -2 & 1 \\
3 & -5 & 0 \
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
5 \times 4 & 5 \times (-2) & 5 \times 1 \\
5 \times 3 & 5 \times (-5) & 5 \times 0 \\
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
20 & -10 & 5 \\
15 & -25 & 0 \\
\end{bmatrix}
$$
Propriedades: Dadas as matrizes $A$ e $B$ de mesma ordem $m \times n$ e números $k$, $k_{1}$ e $k_{2}$, temos:
i) $k (A+B) = kA+kB$;
ii) $(k_{1} + k_{2}) A = k_{1}A + k_{2}A$;
iii) $0 \times A = 0$, isto é, se multiplicarmos o número zero por qualquer matriz $A$, teremos a matriz nula.
Propriedades da Adição (Exemplos)
Ex.:
i) Comutatividade
$
A =
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \
\end{bmatrix} \quad e \quad B =
\begin{bmatrix}
5 & 7 \\
6 & 8 \\
\end{bmatrix}
$
$$
A + B =
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \
\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}
5 & 7 \\
6 & 8 \\
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
6 & 9 \\
9 & 12 \\
\end{bmatrix}
$$
$$
B + A =
\begin{bmatrix}
5 & 7 \\
6 & 8 \
\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
6 & 9 \\
9 & 12 \\
\end{bmatrix}
$$
ii) Associatividade
$A+(B+C) = (A+B)+C$, seja $ C= \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 4 \\ \end{bmatrix} $
$$
A+(B+C) =
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \
\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}
5 & 7 \\
6 & 8 \\
\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}
2 & -1 \\
0 & 4 \\
\end{bmatrix}
$$
$$
=
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \
\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}
7 & 6 \\
6 & 12 \\
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
8 & 8 \\
9 & 16 \\
\end{bmatrix}
$$
$$
(A+B)+C =
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \
\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}
5 & 7 \\
6 & 8 \\
\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}
2 & -1 \\
0 & 4 \\
\end{bmatrix}
$$
$$
=
\begin{bmatrix}
6 & 9 \\
9 & 12 \
\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}
2 & -1 \\
0 & 4 \\
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
8 & 8 \\
9 & 16 \\
\end{bmatrix}
$$
iii) $A+0 = A$
$$
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \
\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0 \\
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
1 + 0 & 2 + 0 \\
3 + 0 & 4 + 0 \\
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
\end{bmatrix}
$$
Propriedades do produto por escalar (Exemplos)
Ex.:
i) $k(A+B) = kA + kB$, seja $k=2$
$$
k(A+B) = 2 \times
\begin{bmatrix}
6 & 9 \\
9 & 12 \
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
12 & 18 \\
18 & 24 \\
\end{bmatrix}
$$
$$
kA+kB = 2 \times
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \
\end{bmatrix} + 2 \times
\begin{bmatrix}
5 & 7 \\
6 & 8 \\
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
2 & 4 \\
6 & 8 \
\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}
10 & 14 \\
12 & 16 \\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
12 & 18 \\
18 & 24 \
\end{bmatrix}
$$
ii) $(k_{1} + k_{2}) \times A = k_{1} A + k_{2} A$, seja $k_{1}=2$, $k_{2}=3$
$(k_{1} + k_{2}) \times A$
$$
(2+3) \times A = 5 \times
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
5 & 10 \\
15 & 20 \
\end{bmatrix}
$$
$k_{1}A + k_{2} A$
$$
2 \times
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
\end{bmatrix} + 3 \times
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
2 & 4 \\
6 & 8 \
\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}
3 & 6 \\
9 & 12 \
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
5 & 10 \\
15 & 20 \
\end{bmatrix}
$$
iii) $0 \times A = 0$
$$
0 \times
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0 \
\end{bmatrix}
$$
iv) $K_{1}(K_{2}A) = (K_{1}K_{2})A$ (Agora é sua vez de demonstrar!)
Multiplicação de Matrizes
Seja $A=[a_{ij}] _{m \times n}$ e $B = [b_{rs}] _{n \times p}$. Definimos $AB = [c_{uv}] _{m \times p}$ onde
$$ C_{uv} = \sum^{n}_{k=1}a_{uk} b_{kv} = a_{u1} b_{1v} + \dots + a_{un} b_{nv}$$
Obs.:
i) Só podemos efetuar o produto de duas matrizes $A_{m \times n}$ e $B_{l \times p}$ se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda, isto é, $n=l$. Além disso, a matriz-resultado $C=AB$ será de ordem $m \times p$.
ii) O elemento $c_{ij}$ (i-ésima e j-ésima coluna da matriz-produto) é obtido multiplicando os elementos da i-ésima linha da primeira matriz pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna da segunda matriz, e somando estes produtos.
Sejam as matrizes:
$$
A =
\begin{bmatrix}
4 & 2 & 6 \\
2 & 5 & 3 \\
\end{bmatrix} \quad ; \quad B =
\begin{bmatrix}
5 & 2 & 4 & 1 \\
2 & 3 & 1 & 0 \\
1 & 2 & 7 & 6 \\
\end{bmatrix}
$$
$$ A_{(2,3)} \times B_{(3,4)} $$
- Multiplica-se a 1ª linha de $A$ sucessivamente pela 1ª, 2ª, 3ª e 4ª colunas de $B$, obtendo-se a primeira linha “$C_{11}$ $C_{12}$ $C_{13}$ $C_{14}$ da matriz $C$. Repete-se o processo para as outras linhas.
Ex.:
$$
\begin{bmatrix}
2 & 1 \\
4 & 2 \\
5 & 3 \\
\end{bmatrix} _{3 \times 2} \times
\begin{bmatrix}
1 & -1 \\
0 & 4 \\
\end{bmatrix} _{2 \times 2} =
\begin{bmatrix}
2 \times 1 + 1 \times 0 & 2 \times (-1) + 1 \times 4 \\
4 \times 1 + 2 \times 0 & 4 \times (-1) + 2 \times 4 \\
5 \times 1 + 3 \times 0 & 5 \times (-1) + 3 \times 4 \\
\end{bmatrix} _{3 \times 2} =
\begin{bmatrix}
2 & 2 \\
4 & 4 \\
5 & 7 \\
\end{bmatrix} _{3 \times 2}
$$
- Cálculo de um elemento qualquer de uma matriz produto
Seja as matrizes:
$$
A =
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
\end{bmatrix} _{2 \times 3} \quad e \quad B =
\begin{bmatrix}
b_{11} & b_{12} & b_{13} \\
b_{21} & b_{22} & b_{23} \\
b_{31} & b_{32} & b_{33} \\
\end{bmatrix} _{3 \times 3}
$$
$$
AB =
C_{(2,3)} =
\begin{bmatrix}
c_{11} & c_{12} & c_{13} \\
c_{21} & c_{22} & c_{23} \
\end{bmatrix}
$$
Qual o elemento $C_{23}$ = 2ª linha de $A \times $ 3ª coluna de $B = a_{21}b_{13} + a_{22}b_{23} + a_{23}b_{33}$
[2º índice de “$a$” e o 1º de “$b$” são iguais]
Essa expressão pode ser escrita do seguinte modo:
$$ C_{23} = \sum^{k=3}_{k=1}a_{2k} b_{k3} $$
Generalizando, se $A_{(m,n)} = [a_{ij}]$ e se $B_{(n,p)} = [b_{kj}]$, o produto $AB$ é uma matriz $C=[c_{ij}]$ tal que:
$$ C_{ij} = \sum^{k=n}_{k=1}a_{ik} b_{kj} $$
$k$ varia de $1$ até $n$, pois $n$ é o número de colunas de $A$ e também é o número de linhas de $B$;
Índice $i$ varia de $1$ a $m$;
Índice $j$ varia de $1$ a $p$.
Propriedades
i) Em geral $AB \neq BA$
Em geral, a existência do produto $AB$ não implica a existênca do produto $BA$:
$$ A_{(3,5)} \times B_{(5,6)} = C_{(3,6)} \quad \quad \quad A_{(5,6)} \times B_{(3,5)} \longrightarrow \text{(não existe produto)} $$
Mesmo quando as multiplicações $AB$ e $BA$ são possíveis, os dois produtos são, em geral diferentes:
$$ A_{(4,3)} \times B_{(3,4)} = C_{(4,4)} \quad \quad \quad B{(3,4)} \times A_{(4,3)} = D_{(3,3)} $$
Ainda que $A$ e $B$ fossem matrizes quadradas de ordem $n$, os produtos $AB$ e $BA$ seriam também matrizes quadradas de ordem $n$, e ainda assim, em geral, difeririam.
Ex.:
$$
A =
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \
\end{bmatrix} \quad ; \quad B =
\begin{bmatrix}
5 & 7 \\
6 & 8 \
\end{bmatrix}
$$
$$
AB =
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \
\end{bmatrix} \times
\begin{bmatrix}
5 & 7 \\
6 & 8 \
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
17 & 23 \\
39 & 53 \
\end{bmatrix} \neq
BA =
\begin{bmatrix}
5 & 7 \\
6 & 8 \
\end{bmatrix} \times
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
26 & 38 \\
30 & 44 \
\end{bmatrix}
$$
Logo, a multiplicação de duas matrizes não é comutativa.
ii) $AI = IA = A$
Ex.:
$$
A =
\begin{bmatrix}
3 & 2 \\
5 & 7 \
\end{bmatrix} \quad ; \quad I =
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \
\end{bmatrix}
$$
$$
AI =
\begin{bmatrix}
3 & 2 \\
5 & 7 \
\end{bmatrix} \times
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
3 & 2 \\
5 & 7 \
\end{bmatrix}
$$
$$
IA =
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \
\end{bmatrix} \times
\begin{bmatrix}
3 & 2 \\
5 & 7 \
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
3 & 2 \\
5 & 7 \
\end{bmatrix}
$$
iii) Dadas as matrizes $A$, $B$ e $C$ de ordem $(m,n)$, $(n,p)$ e $(p,r)$, respectivamente, tem-se: (associatividade)
Ex.: $(AB)C = A(BC)$
iv) Dadas as matrizes $A$, $B$ e $C$ de ordem $(m,n)$, $(m,n)$ e $(n,p)$, respectivamente, tem-se:
$(A+B) \times C = AC + BC$
v) Dadas as matrizes $A$, $B$ e $C$ de ordem $(n,p)$, $(n,p)$ e $(m,n)$, respectivamente, tem-se:
$C \times (A+B) = CA + CB$
vi) Dadas as matrizes $A$ e $B$ de ordem $(m,n)$ e $(n,p)$, respectivamente, tem-se para todo número $\lambda$:
$(\lambda A) B = A(\lambda B) = \lambda (AB)$
vii) $0_{m \times n} \times A = 0_{m \times n}$ e $A \times 0_{m \times n} = 0_{m \times n}$