Aula 01 - Operações com Matrizes

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Adição de Matrizes

A soma de duas matrizes de mesma ordem, $A_{m\times n}=[a_{ij}]$ e $B_{m\times n}=[b_{ij}]$, é uma matriz $m\times n$, que denotaremos $A+B$, cujos elementos são somas dos elementos correspondentes de $A$ e $B$, istó é,

$$A+B={[a_{ij}+b_{ij}]}_{m\times n}=C=[c_{ij}{]}_{m\times n}$$

Ex.:

$$I)\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}{b}_{11}& b_{12}& b_{13}\\ b_{21}& b_{22}& b_{23}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}+b_{11}& a_{12}+b_{12}& a_{13}+b_{13}\\ a_{21}+b_{21}& a_{22}+b_{22}& a_{23}+b_{23}\end{array}\right]$$

$$II)\left[\begin{array}{ccc}5& -2& 3\\ 2& 1& -4\\ 1& 0& 2\\ 3& -1& 4\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}-2& 1& 3\\ 4& 2& 5\\ 0& 2& -2\\ -3& 0& 5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}3& -1& 6\\ 6& 3& 1\\ 1& 2& 0\\ 0& -1& 9\end{array}\right]$$

Obs.:

(i) A diferença, $A-B=[a_{ij}-b_{ij}{]}_{m\times n}$, é uma matriz $C$ tal que: $c_{ij}=a_{ij}-b_{ij}$;

(ii) A adição/diferença de matrizes tem as mesmas propriedades de números reais.

Propriedades: Dadas as matrizes de mesma ordem $m\times n$, temos:

i) $A+B=B+A$ (comutatividades);

ii) $A+(B+C)=(A+B)+C$ (associatividade);

iii) $A+0=A$, onde $0$ denota a matriz nula $m\times n$. $(0_{m\times n})$

Produto de uma Matriz por um Escalar

Seja $A=[a_{ij}{]}_{m\times n}$ e $k$ um número, então definimos uma nova matriz $B=[b_{ij}]$ tal que:

$$k\times A=[k\times a_{ij}{]}_{m\times n}=B$$

Ex.:

$$5\times \left[\begin{array}{ccc}4& -2& 1\\ 3& -5& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}5\times 4& 5\times (-2)& 5\times 1\\ 5\times 3& 5\times (-5)& 5\times 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}20& -10& 5\\ 15& -25& 0\end{array}\right]$$

Propriedades: Dadas as matrizes $A$ e $B$ de mesma ordem $m\times n$ e números $k$, $k_1$ e $k_2$, temos:

i) $k(A+B)=kA+kB$;

ii) $(k_1+k_2)A=k_{1}A+k_{2}A$;

iii) $0\times A=0$, isto é, se multiplicarmos o número zero por qualquer matriz $A$, teremos a matriz nula.

Propriedades da Adição (Exemplos)

Ex.:

i) Comutatividade

$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]eB=\left[\begin{array}{cc}5& 7\\ 6& 8\end{array}\right]$

$$A+B=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}5& 7\\ 6& 8\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}6& 9\\ 9& 12\end{array}\right]$$

$$B+A=\left[\begin{array}{cc}5& 7\\ 6& 8\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}6& 9\\ 9& 12\end{array}\right]$$

ii) Associatividade

$A+(B+C)=(A+B)+C$, seja $C=\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ 0& 4\end{array}\right]$

$$A+(B+C)=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}5& 7\\ 6& 8\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ 0& 4\end{array}\right]$$

$$=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}7& 6\\ 6& 12\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}8& 8\\ 9& 16\end{array}\right]$$

$$(A+B)+C=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}5& 7\\ 6& 8\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ 0& 4\end{array}\right]$$

$$=\left[\begin{array}{cc}6& 9\\ 9& 12\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ 0& 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}8& 8\\ 9& 16\end{array}\right]$$

iii) $A+0=A$

$$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1+0& 2+0\\ 3+0& 4+0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$$

Propriedades do produto por escalar (Exemplos)

Ex.:

i) $k(A+B)=kA+kB$, seja $k=2$

$$k(A+B)=2\times \left[\begin{array}{cc}6& 9\\ 9& 12\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}12& 18\\ 18& 24\end{array}\right]$$

$$kA+kB=2\times \left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]+2\times \left[\begin{array}{cc}5& 7\\ 6& 8\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& 4\\ 6& 8\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}10& 14\\ 12& 16\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}12& 18\\ 18& 24\end{array}\right]$$

ii) $(k_1+k_2)\times A=k_{1}A+k_{2}A$, seja $k_1=2$, $k_2=3$

$(k_1+k_2)\times A$

$$(2+3)\times A=5\times \left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}5& 10\\ 15& 20\end{array}\right]$$

$$2\times \left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]+3\times \left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& 4\\ 6& 8\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}3& 6\\ 9& 12\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}5& 10\\ 15& 20\end{array}\right]$$

iii) $0\times A=0$

$$0\times \left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$$

iv) $K_1(K_{2}A)=(K_1{K}_2)A$ (Agora é sua vez de demonstrar!)

Multiplicação de Matrizes

Seja $A=[a_{ij}{]}_{m\times n}$ e $B=[b_{rs}{]}_{n\times p}$. Definimos $AB=[c_{uv}{]}_{m\times p}$ onde

$$C_{uv}=\sum _{k=1}^n{a}_{uk}{b}_{kv}=a_{u1}{b}_{1v}+\cdots +a_{un}{b}_{nv}$$

Obs.:

i) Só podemos efetuar o produto de duas matrizes $A_{m\times n}$ e $B_{l\times p}$ se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda, isto é, $n=l$. Além disso, a matriz-resultado $C=AB$ será de ordem $m\times p$.

ii) O elemento $c_{ij}$ (i-ésima e j-ésima coluna da matriz-produto) é obtido multiplicando os elementos da i-ésima linha da primeira matriz pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna da segunda matriz, e somando estes produtos.

Sejam as matrizes:

$$A=\left[\begin{array}{ccc}4& 2& 6\\ 2& 5& 3\end{array}\right];B=\left[\begin{array}{cccc}5& 2& 4& 1\\ 2& 3& 1& 0\\ 1& 2& 7& 6\end{array}\right]$$

$$A_{(2,3)}\times B_{(3,4)}$$

• Multiplica-se a 1ª linha de $A$ sucessivamente pela 1ª, 2ª, 3ª e 4ª colunas de $B$, obtendo-se a primeira linha “$C_{11}$ $C_{12}$ $C_{13}$ $C_{14}$ da matriz $C$. Repete-se o processo para as outras linhas.

Ex.:

$${\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 4& 2\\ 5& 3\end{array}\right]}_{3\times 2}\times {\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 4\end{array}\right]}_{2\times 2}={\left[\begin{array}{cc}2\times 1+1\times 0& 2\times (-1)+1\times 4\\ 4\times 1+2\times 0& 4\times (-1)+2\times 4\\ 5\times 1+3\times 0& 5\times (-1)+3\times 4\end{array}\right]}_{3\times 2}={\left[\begin{array}{cc}2& 2\\ 4& 4\\ 5& 7\end{array}\right]}_{3\times 2}$$

• Cálculo de um elemento qualquer de uma matriz produto

Seja as matrizes:

$$A={\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\end{array}\right]}_{2\times 3}eB={\left[\begin{array}{ccc}{b}_{11}& b_{12}& b_{13}\\ b_{21}& b_{22}& b_{23}\\ b_{31}& b_{32}& b_{33}\end{array}\right]}_{3\times 3}$$

$$AB=C_{(2,3)}=\left[\begin{array}{ccc}{c}_{11}& c_{12}& c_{13}\\ c_{21}& c_{22}& c_{23}\end{array}\right]$$

Qual o elemento $C_{23}$ = 2ª linha de $A\times$ 3ª coluna de $B=a_{21}{b}_{13}+a_{22}{b}_{23}+a_{23}{b}_{33}$

[2º índice de “$a$” e o 1º de “$b$” são iguais]

Essa expressão pode ser escrita do seguinte modo:

$$C_{23}=\sum _{k=1}^{k=3}{a}_{2k}{b}_{k3}$$

Generalizando, se $A_{(m,n)}=[a_{ij}]$ e se $B_{(n,p)}=[b_{kj}]$, o produto $AB$ é uma matriz $C=[c_{ij}]$ tal que:

$$C_{ij}=\sum _{k=1}^{k=n}{a}_{ik}{b}_{kj}$$

• $k$ varia de $1$ até $n$, pois $n$ é o número de colunas de $A$ e também é o número de linhas de $B$;

• Índice $i$ varia de $1$ a $m$;

• Índice $j$ varia de $1$ a $p$.

Propriedades

i) Em geral $AB\ne BA$

Em geral, a existência do produto $AB$ não implica a existênca do produto $BA$:

$$A_{(3,5)}\times B_{(5,6)}=C_{(3,6)}{A}_{(5,6)}\times B_{(3,5)}⟶\text{(não existe produto)}$$

Mesmo quando as multiplicações $AB$ e $BA$ são possíveis, os dois produtos são, em geral diferentes:

$$A_{(4,3)}\times B_{(3,4)}=C_{(4,4)}B(3,4)\times A_{(4,3)}=D_{(3,3)}$$

Ainda que $A$ e $B$ fossem matrizes quadradas de ordem $n$, os produtos $AB$ e $BA$ seriam também matrizes quadradas de ordem $n$, e ainda assim, em geral, difeririam.

Ex.:

$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right];B=\left[\begin{array}{cc}5& 7\\ 6& 8\end{array}\right]$$

$$AB=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cc}5& 7\\ 6& 8\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}17& 23\\ 39& 53\end{array}\right]\ne BA=\left[\begin{array}{cc}5& 7\\ 6& 8\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}26& 38\\ 30& 44\end{array}\right]$$

Logo, a multiplicação de duas matrizes não é comutativa.

ii) $AI=IA=A$

Ex.:

$$A=\left[\begin{array}{cc}3& 2\\ 5& 7\end{array}\right];I=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$$

$$AI=\left[\begin{array}{cc}3& 2\\ 5& 7\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3& 2\\ 5& 7\end{array}\right]$$

$$IA=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cc}3& 2\\ 5& 7\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3& 2\\ 5& 7\end{array}\right]$$

iii) Dadas as matrizes $A$, $B$ e $C$ de ordem $(m,n)$, $(n,p)$ e $(p,r)$, respectivamente, tem-se: (associatividade)

Ex.: $(AB)C=A(BC)$

iv) Dadas as matrizes $A$, $B$ e $C$ de ordem $(m,n)$, $(m,n)$ e $(n,p)$, respectivamente, tem-se:

$(A+B)\times C=AC+BC$

v) Dadas as matrizes $A$, $B$ e $C$ de ordem $(n,p)$, $(n,p)$ e $(m,n)$, respectivamente, tem-se:

$C\times (A+B)=CA+CB$

vi) Dadas as matrizes $A$ e $B$ de ordem $(m,n)$ e $(n,p)$, respectivamente, tem-se para todo número $\lambda$:

$(\lambda A)B=A(\lambda B)=\lambda (AB)$

vii) $0_{m\times n}\times A=0_{m\times n}$ e $A\times 0_{m\times n}=0_{m\times n}$