Aula 00 - Introdução
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Matriz
Definição de Matriz
Chamamos de matriz uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas.
Os conceitos básicos sobre matrizes aparecem naturalmente na resolução de muitos tipos de problemas e são essenciais, não apenas porque eles “ordenam e simplificam” o problema, mas também porque fornecem novos métodos de resolução.
Exemplo: Dados referentes a altura, peso e idade.
| Indivíduos | Altura (M) | Peso (Kg) | Idade (anos) |
|---|---|---|---|
| Pessoa 1 | 1,07 | 70 | 23 |
| Pessoa 2 | 1,75 | 60 | 45 |
| Pessoa 3 | 1,60 | 52 | 25 |
| Pessoa 4 | 1,81 | 72 | 30 |
Ao abstraírmos os significados das linhas e colunas, temos a matriz:
$$
\begin{bmatrix}
1,70 & 70 & 23 \\
1,75 & 60 & 45 \\
1,60 & 52 & 25 \\
1,81 & 72 & 30 \\
\end{bmatrix}
$$
Os elementos de uma matriz podem ser números (reais ou complexos), funções, ou ainda outras matrizes.
- Ordem da Matriz - Quando queremos especificar a ordem de uma matriz $A$, escrevemos $A_{mxn}$. Onde $m$ é o número de linhas e $n$ número de colunas.
Representando uma matriz de $m$ linhas e $n$ colunas por:
$$
A_{m\times n} =
\begin{bmatrix}
1,70 & 70 & 23 \\
1,75 & 60 & 45 \\
1,60 & 52 & 25 \\
1,81 & 72 & 30 \\
\end{bmatrix}
= [a_{ij}]_{m \times n}
$$
Usaremos sempre letras maiúsculas para denotar matrizes.
OBSERVAÇÃO: outras notações (parênteses e barra)
$$ \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 4 \\ \end{pmatrix} \quad e \quad \begin{Vmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 4 \\ \end{Vmatrix} $$
Para localizar um elemento de uma matriz, dizemos a linha e a coluna (nesta ordem) em que ele está.
Exemplo:
$$ A_{2\times 3} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -4 \\ 4 & -3 & 2 \\ \end{bmatrix} $$
Qual elemento que está na primeira linha e terceira coluna, isto é, $a_{13}$?
Igualdade de Matrizes
Definição: Duas matrizes $A_{m \times n} = \left[ a_{ij} \right]mn$ e $B_{r \times r} = \left[ a_{ij} \right]rs$ são iguais, $A=B$, se elas têm o mesmo número de linhas ($m=r$) e colunas ($n=s$), e todos os seus elementos correspondentes são iguais $\left( a_{ij} = b_{ij} \right)$.
Exemplo: $$ \begin{bmatrix} 3^2 & 1 & Log\ 1 \\ 2 & 2^3 & 5 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & sen\ 90^0 & 0 \\ 2 & 8 & 5 \\ \end{bmatrix} $$
Tipos Especiais de Matrizes
Matriz Quadrada
É aquela cujo o número de linhas é igual ao número de colunas ($m=n$).
Ex.:
$$
A =
\begin{bmatrix}
1 & -2 & 0 \\
3 & 0 & 1 \\
4 & 5 & 6 \
\end{bmatrix} \quad ; \quad
B = \left[ 8 \right]
$$
No caso de matrizes quadradas **$A_{m \times n}$**, costumamos dizer que **$A$** é uma matriz de ordem **$m$**.
Diagonal Pincipal
Numa matriz quadrada $A = \left[ a_{ij} \right]$, os elementos $a_{ij}$, em que $i=j$, constituem a diagonal principal.
Assim, a diagonal formada pelos elementos $a_{11}$, $a_{11}$, $a_{22}$, $a_{33}$, $\dots$, $a_{mm}$ é a diagonal principal.
Diagonal Secundária
Numa matriz quadrada $A = \left[ a_{ij} \right]$, os elementos $a_{ij}$, em que $i+j=n+1$, constituem a diagonal Secundária.
Assim, a diagonal formada pelos elementos $a_{1n}$, $a_{2n-1}$, $a_{3n-1}$, $\dots$, $a_{n1}$ é a diagonal Secundária.
Matriz Retangular
Uma matriz na qual $m \ne n$ é denominada retangular.
Matriz Nula (Matriz Zero)
É aquela em que $a_{ij} = 0$, para todo $i$ e $j$.
EX.:
$$
A_{2 \times 2} =
\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0 \
\end{bmatrix} \quad ; \quad
B_{3 \times 5} =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
\end{bmatrix}
$$
Matriz Coluna
É aquela que possui uma única coluna ($n=1$).
EX.:
$$
A =
\begin{bmatrix}
1 \\
4 \
-3 \
\end{bmatrix} \quad ; \quad
B =
\begin{bmatrix}
x \\
y \
\end{bmatrix}
$$
Matriz Linha
É aquela onde $m=1$.
EX.:
$$
A =
\begin{bmatrix}
3 & 0 -1 \
\end{bmatrix} \quad ; \quad
B =
\begin{bmatrix}
0 & 0 \
\end{bmatrix}
$$
Matriz Diagonal
É uma matriz quadrada ($m=n$) onde $a_{ij} = 0$ para $i \ne j$, isto é, os elementos que não estão na “diagonal” são nulos.
EX.:
$$
A =
\begin{bmatrix}
7 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \
0 & 0 & -1 \
\end{bmatrix} \quad ; \quad
B =
\begin{bmatrix}
3 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 0 & 0 \
0 & 0 & 3 & 0 \
0 & 0 & 0 & 3 \
\end{bmatrix}
$$
Matriz Escalar
A matriz diagonal que tem os elementos $a_{ij}$ iguais entre si para $i=j$ é uma matriz escalar.
EX.:
$$
A =
\begin{bmatrix}
5 & 0 & 0 \\
0 & 5 & 0 \
0 & 0 & 5 \
\end{bmatrix}
$$
Matriz Identidade ou Unidade
Uma matriz escalar de qualquer ordem que $a_{ij} = 1$ e $a_{ij} = 0$, para $i \ne j$. Indica-se a matriz unidade por $I_{n}$, ou simplismente por $I$.
EX.:
$$
I_{2} =
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \
\end{bmatrix} \quad ; \quad
I_{3} =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 1 \
\end{bmatrix}
$$
Matriz Triangular Superior
É uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal são nulos, isto é, $m=n$ e $a_{ij} = 0$ para $i > j$.
EX.:
$$
A =
\begin{bmatrix}
5 & 4 & 7 & 9 \\
0 & 3 & -8 & 4\
0 & 0 & -2 & 3\
0 & 0 & -0 & 6 \
\end{bmatrix} \quad ; \quad
B =
\begin{bmatrix}
2 & -1 & 0 \\
0 & -1 & 4 \
0 & 0 & 3 \
\end{bmatrix}
$$
Matriz Triangular Inferior
É aquela em que $m=n$ e $a_{ij} = 0$ para $i < j$.
EX.:
$$
A =
\begin{bmatrix}
2 & 0 & 0 & 0 \\
1 & -1 & 0 & 0\
1 & 2 & 2 & 0\
1 & 0 & 5 & 4 \
\end{bmatrix} \quad ; \quad
B =
\begin{bmatrix}
5 & 0 & 0 \\
7 & 0 & 0 \
2 & 1 & 3 \
\end{bmatrix}
$$
Antes de tratarmos de matriz transposta, simétrica e antissimétrica, precisamos ver operações com matrizes.