Aula 00 - Introdução

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Matriz

Definição de Matriz

Chamamos de matriz uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas.

Os conceitos básicos sobre matrizes aparecem naturalmente na resolução de muitos tipos de problemas e são essenciais, não apenas porque eles “ordenam e simplificam” o problema, mas também porque fornecem novos métodos de resolução.

Exemplo: Dados referentes a altura, peso e idade.

Indivíduos	Altura (M)	Peso (Kg)	Idade (anos)
Pessoa 1	1,07	70	23
Pessoa 2	1,75	60	45
Pessoa 3	1,60	52	25
Pessoa 4	1,81	72	30

Ao abstraírmos os significados das linhas e colunas, temos a matriz:

$[\begin{matrix} 1, 70 & 70 & 23 \\ 1, 75 & 60 & 45 \\ 1, 60 & 52 & 25 \\ 1, 81 & 72 & 30 \end{matrix}]$

Os elementos de uma matriz podem ser números (reais ou complexos), funções, ou ainda outras matrizes.

Ordem da Matriz - Quando queremos especificar a ordem de uma matriz $A$ , escrevemos $A_{m x n}$ . Onde $m$ é o número de linhas e $n$ número de colunas.

Representando uma matriz de $m$ linhas e $n$ colunas por:

$A_{m \times n} = [\begin{matrix} 1, 70 & 70 & 23 \\ 1, 75 & 60 & 45 \\ 1, 60 & 52 & 25 \\ 1, 81 & 72 & 30 \end{matrix}] = [a_{i j}]_{m \times n}$

Usaremos sempre letras maiúsculas para denotar matrizes.

OBSERVAÇÃO: outras notações (parênteses e barra)

$(\begin{matrix} 2 & - 1 \\ 0 & 4 \end{matrix}) e ‖ \begin{matrix} 2 & - 1 \\ 0 & 4 \end{matrix} ‖$

Para localizar um elemento de uma matriz, dizemos a linha e a coluna (nesta ordem) em que ele está.

Exemplo:

$A_{2 \times 3} = [\begin{matrix} 1 & 0 & - 4 \\ 4 & - 3 & 2 \end{matrix}]$

Qual elemento que está na primeira linha e terceira coluna, isto é, $a_{13}$ ?

Igualdade de Matrizes

Definição: Duas matrizes $A_{m \times n} = [a_{i j}] m n$ e $B_{r \times r} = [a_{i j}] r s$ são iguais, $A = B$ , se elas têm o mesmo número de linhas ( $m = r$ ) e colunas ( $n = s$ ), e todos os seus elementos correspondentes são iguais $(a_{i j} = b_{i j})$ .

Exemplo: $[\begin{matrix} 3^{2} & 1 & L o g 1 \\ 2 & 2^{3} & 5 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 9 & s e n 90^{0} & 0 \\ 2 & 8 & 5 \end{matrix}]$

Tipos Especiais de Matrizes

Matriz Quadrada

É aquela cujo o número de linhas é igual ao número de colunas ( $m = n$ ).

Ex.: $A = [\begin{matrix} 1 & - 2 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix}]; B = [8]$

No caso de matrizes quadradas ** $A_{m \times n}$ **, costumamos dizer que ** $A$ ** é uma matriz de ordem ** $m$ **.

Diagonal Pincipal

Numa matriz quadrada $A = [a_{i j}]$ , os elementos $a_{i j}$ , em que $i = j$ , constituem a diagonal principal.

Assim, a diagonal formada pelos elementos $a_{11}$ , $a_{11}$ , $a_{22}$ , $a_{33}$ , $\dots$ , $a_{m m}$ é a diagonal principal.

Diagonal Secundária

Numa matriz quadrada $A = [a_{i j}]$ , os elementos $a_{i j}$ , em que $i + j = n + 1$ , constituem a diagonal Secundária.

Assim, a diagonal formada pelos elementos $a_{1 n}$ , $a_{2 n - 1}$ , $a_{3 n - 1}$ , $\dots$ , $a_{n 1}$ é a diagonal Secundária.

Matriz Retangular

Uma matriz na qual $m \neq n$ é denominada retangular.

Matriz Nula (Matriz Zero)

É aquela em que $a_{i j} = 0$ , para todo $i$ e $j$ .

EX.: $A_{2 \times 2} = [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}]; B_{3 \times 5} = [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}]$

Matriz Coluna

É aquela que possui uma única coluna ( $n = 1$ ).

EX.: $A = [\begin{matrix} 1 \\ 4 - 3 \end{matrix}]; B = [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}]$

Matriz Linha

É aquela onde $m = 1$ .

EX.: $A = [\begin{matrix} 3 & 0 - 1 \end{matrix}]; B = [\begin{matrix} 0 & 0 \end{matrix}]$

Matriz Diagonal

É uma matriz quadrada ( $m = n$ ) onde $a_{i j} = 0$ para $i \neq j$ , isto é, os elementos que não estão na “diagonal” são nulos.

EX.: $A = [\begin{matrix} 7 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 0 & 0 & - 1 \end{matrix}]; B = [\begin{matrix} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 0 & 0 & 3 & 0 0 & 0 & 0 & 3 \end{matrix}]$

Matriz Escalar

A matriz diagonal que tem os elementos $a_{i j}$ iguais entre si para $i = j$ é uma matriz escalar.

EX.: $A = [\begin{matrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 0 & 0 & 5 \end{matrix}]$

Matriz Identidade ou Unidade

Uma matriz escalar de qualquer ordem que $a_{i j} = 1$ e $a_{i j} = 0$ , para $i \neq j$ . Indica-se a matriz unidade por $I_{n}$ , ou simplismente por $I$ .

EX.: $I_{2} = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]; I_{3} = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$

Matriz Triangular Superior

É uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal são nulos, isto é, $m = n$ e $a_{i j} = 0$ para $i > j$ .

EX.: $A = [\begin{matrix} 5 & 4 & 7 & 9 \\ 0 & 3 & - 8 & 4 0 & 0 & - 2 & 3 0 & 0 & - 0 & 6 \end{matrix}]; B = [\begin{matrix} 2 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 4 0 & 0 & 3 \end{matrix}]$

Matriz Triangular Inferior

É aquela em que $m = n$ e $a_{i j} = 0$ para $i < j$ .

EX.: $A = [\begin{matrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 0 & 0 1 & 2 & 2 & 0 1 & 0 & 5 & 4 \end{matrix}]; B = [\begin{matrix} 5 & 0 & 0 \\ 7 & 0 & 0 2 & 1 & 3 \end{matrix}]$

Antes de tratarmos de matriz transposta, simétrica e antissimétrica, precisamos ver operações com matrizes.

Última atualização em Oct 10, 2023